sábado, 11 de enero de 2014

10. Observaciones... ¡Ten cuidado!

Introducidos todos los conceptos contenidos en la UD, veo imprescindible, hacer una serie de observaciones, apuntes y/o recomendaciones para la correcta resolución de ejercicios. Estas advertencias os ayudarán a tener mayor confianza a la hora de realizar las autoevaluaciones y/o ejercicios en general.



RECUERDA:
Ø Las identidades notables:

Ø Muchas veces a la hora de simplificar una expresión algebraica, es muy tentador “tachar” por ejemplo, en la expresión 3x/(x+2), la x del numerador y la del denominador. ¡Eso NO es correcto! Sólo se pueden simplificar factores repetidos en el numerador y en el denominador, y nunca si van sumando o restando.
Ø Una ecuación completa presenta la forma ax2+bx+c=0 y se resuelve con la fórmula del -b...
Ø Las ecuaciones incompletas también se pueden resolver con la fórmula de las ecuaciones completas de segundo grado, pero es mucho más cómodo y rápido resolverlas por el método explicado en la entrada correspondiente.
Ø A la hora de factorizar, primero fijaos si podéis sacar factor común. Segundo, si el polinomio se identifica con una identidad notable. Tercero,  si el polinomio es de orden 2 o menor, proceder como las ecuaciones de segundo grado completas o incompletas, según corresponda. Pero si el polinomio es de grado 3 o superior, hallar sus raíces con la regla de Ruffini. Y Por último, expresar el polinomio factorizado como un producto de factores de este tipo (x - [la raíz del polinomio cambiado de signo]).
Ø Que un polinomio sea divisible por otro, implica que el resto de la división es cero.
Ø Para resolver una ecuación del tipo factorizada:
[...] · [...] · [...] = 0 es decir, “producto de varios factores igualado a cero”, igualamos a cero  cada uno de los factores y resolvemos las correspondientes ecuaciones.   
Ø Para resolver una ecuación en la que aparece un radical:
•Se aísla el radical en uno de los miembros.
•Se elevan al cuadrado los dos miembros, con lo que desaparece el radical.
•Se resuelve la ecuación resultante.
•Se comprueba la validez de cada solución sobre la ecuación inicial.
Ø No olvides:
Si hay raíces o incógnitas en el denominador, al resolver la ecuación puede aparecer alguna solución falsa. Por eso, en tales casos, es necesario comprobar todas las soluciones sobre el sistema inicial.

Ø Para resolver problemas: Primero, identificar las incógnitas. Segundo, escribir la ecuación o el sistema. Tercero, resolver. Y último, comprobar las soluciones.

Espero que os hayan sido útil las anotaciones. El blog seguirá en contínua actualización con más explicaciones, actividades divertidas y recursos educativos.


viernes, 10 de enero de 2014

9. Actividad: "Obras en el patio del Instituto"

Después de la teoría de sistemas de ecuaciones, se propone la siguiente actividad. Una actividad que refleja la presencia de las ecuaciones y las matemáticas en nuestras vidas, en nuestra rutina y en todo lo que nos rodea. Todo aquello que queramos averiguar, se reduce a la resolución de una ecuación o de cálculo matemático.

Esta tarea favorece la convivencia puesto que se trabaja en equipo. Entre otras competencias básicas, se trabaja la competencia de conocimiento e interacción con el mundo físico. El alumno interactúa con el espacio circundante, se mueve en él y resuelve problemas en los que intervengan los objetos y su posición. También, elabora modelos a escala. Asimismo, en esta tarea se demuestra iniciativa a la hora de escoger el modo de medir el patio y la habilidad de aproximar formas a figuras geométricas sencillas.

Descripción de la actividad.

Suponed que sois una constructora que quiere licitar una obra: "Refuerzo del pavimento del patio del instituto". Para ello tenéis que calcular el presupuesto de los materiales a emplear conociendo los siguientes datos:

1. Relleno de 30 cm de una base de zahorra ---------  20,30 euros/m2 
2. Solera de hormigón de 10 cm de espesor ---------  170,66 euros/m2

En grupos delimitar la zona a medir, realizar un croquis aproximando el modelo a formas geométricas conocidas. Toma de datos. Introducir los datos en una hoja de cálculo en excel e interpretar los resultados.


jueves, 9 de enero de 2014

8. Resolución de problemas

Para resolver un problema mediante una ecuación o un sistema de ecuaciones, hay que traducir al lenguaje algebraico las condiciones del enunciado y después resolver la ecuación o el sistema planteado.

 
 

Imagen de Bárbara Cannnela.
Licencia Creative Commons by-nc-sa

Comienza siempre por leer detenidamente el enunciado hasta asegurarte de que comprendes bien lo que se ha de calcular y los datos que te dan.   

Una vez resuelta la ecuación o el sistema comprueba que la solución hallada cumple las condiciones del enunciado del problema.

Veamos un ejemplo aplicado a la vida diaria.

En una examen de 20 preguntas la nota de Juan ha sido un 8. Si cada acierto vale un punto y cada error resta dos puntos, ¿cuántas preguntas ha acertado Juan?, ¿cuántas ha fallado?. 


Pasemos de inmediato a la primera fase. Una vez leído detenidamente el enunciado del problema, hay que tener claro qué es lo que se pregunta y cómo vamos a llamar a las incógnitas que vamos a manejar en la resolución del problema.

Está claro que las preguntas que hay que contestar son las del final del enunciado, es decir, cuántas preguntas ha fallado y cuántas ha acertado Juan. Llamemos entonces x al número de respuestas acertadas e y al de falladas.

En la segunda fase, hay que efectuar el planteamiento del problema. Atendiendo a las condiciones que nos propone el enunciado y a cómo hemos nombrado las incógnitas, tendremos las siguientes ecuaciones:
El número total de preguntas es 20, luego: x + y = 20
La nota es un 8 y cada fallo resta dos puntos: x - 2y = 8

Ya tenemos el sistema planteado, por tanto, pasamos a la tercera fase, es decir, la resolución del sistema. Para ello, podemos utilizar cualquiera de los métodos vistos en la entrada anterior. Si aplicamos, por ejemplo, el método de sustitución tendremos:

De la segunda ecuación: x = 2y + 8 ; sustituyendo en la primera:
2y + 8 + y = 20
3y = 12 y = 12/3 y = 4 ; 
sustituyendo en la ecuación del principio: x = 16 .

Una vez halladas las soluciones del sistema, las traducimos a las condiciones del problema, es decir, tal y como habíamos nombrado las incógnitas, Juan ha acertado 16 preguntas y ha fallado 4.

Podemos pasar a la cuarta fase que consiste en comprobar si la solución es correcta.

Si ha acertado 16 preguntas, Juan tendría en principio 16 puntos, pero, al haber fallado 4, le restarán el doble de puntos, es decir 8. Por tanto, 16 - 8 = 8 que es la nota que, según el enunciado del problema, ha obtenido.

Luego se cumplen las condiciones del problema y la solución hallada es correcta y válida.


7. Sistemas de ecuaciones

Ahora se da paso a los sistemas de ecuaciones y a su resolución por los distintos tipos.

En este enlace, encontraréis una manera sencilla de comprender la resolución de sistemas de ecuaciones a través de un juego de triángulos. 

Además, si queréis completar la explicación sólo tendréis que pinchar en este enlace que os llevará a un recurso interactivo con el que os divertiréis aprendiendo.

Sistema de Ecuaciones de Primer grado

Un sistema de dos ecuaciones lineales (o de primer grado) con dos incógnitas está formado por dos ecuaciones de dicho tipo.

Su expresión general es 


siendo a,a’,b,b’,k,k’ números reales.
Coeficientes: son los números a, a’,b, b’
Términos independientes: los números k, k’
Una solución al sistema es un par de números que verifica ambas ecuaciones del sistema.

Sistemas de 2º grado

Son sistemas en los que una de las ecuaciones o las dos son de segundo grado en una de las incógnitas o en las dos.
Habitualmente se resuelven despejando una de las incógnitas en la ecuación de primer grado y sustituyendo en la otra lo que da lugar a una ecuación de 2º grado.

Métodos de Resolución de sistemas de ecuaciones

Método de sustitución
Consiste en despejar una de las incógnitas en una ecuación del sistema y sustituir la expresión obtenida en la otra. Se resuelve. Su solución se sustituye en la primera ecuación.
Nota: Elige en primer lugar la incógnita que deseas despejar en la ecuación más conveniente.

Método de igualación
Consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones. Se igualan las dos expresiones que resultan y se resuelve la ecuación de primer grado con una incógnita.

Método de reducción
Primero se preparan las dos ecuaciones. Esto consiste en multiplicar una ó las dos ecuaciones por algún número de modo que obtengamos un sistema en que los coeficientes de x o de y sean iguales y de signo contrario, para eliminar dicha incógnita al sumar las dos ecuaciones. Luego se resuelve la ecuación. Y el resultado obtenido para una incógnita se sustituye en la otra ecuación, para conocer el valor de la segundo incógnita.

martes, 7 de enero de 2014

6. Actividad: "De ruta por Google Maps"

Hola a todos, hoy planteamos una actividad que se sale un poco de los libros y las matemáticas explicadas con lápiz y papel.

Con esta actividad se trabaja la competencia básica del tratamiento de la información y competencia digital al hacer uso de Google Maps. Se requiere habilidad para buscar, obtener, procesar y transformar la información en conocimiento. Además del bloque de contenidos de ecuaciones, también está presente el bloque de estudio y representación gráfica de funciones polinómicas de primer grado.


Descripción de la actividad.
Imaginad que cada uno de vosotros sois un comercial que ha de visitar a 3 de sus clientes en el mismo día. Sabiendo que los clientes viven cada uno en una ciudad diferente (Albacete, Murcia y Alicante), que la visita tiene una duración de 1 hora y teniendo en cuenta que tenéis que estar de vuelta en casa a las 18:00h, Se pide:

1. Diseñar la ruta óptima.

2. Hora de salida
3. Kilómetros recorridos en total
4. velocidad de cada tramo y la velocidad media del viaje.
5. Gráfica x-t y v-t, considerando la velocidad constante en cada tramo.
6. ¿Qué distancia habrá recorrido a las 14:00h?


Para resolver la actividad haced uso de la aplicación informática Google-Maps.