jueves, 12 de diciembre de 2013

5. Tipos de ecuaciones (II)

Continuamos con los distintos tipos de ecuaciones. Ahora es el turno de las ecuaciones factorizadas, bicuadradas, fraccionarias e irracionales.


Ecuaciones Factorizadas

Por ejemplo, si queremos resolver la ecuación x (x-1) (x2-5x+6) = 0. En el primer miembro aparece el producto de tres factores. Para que un producto sea exacto, es necesario que uno de los factores sea cero. Por tanto igualamos a cero cada uno de los factores:

 x (x-1) (x2-5x+6) = 0  ;  x1=0



                                       x-1=0 ;  x2=1

                                       x2-5x+6 = 0  ;   x3 = 2
                                                                x4 = 3


Ecuaciones Bicuadradas


Son ecuaciones de la forma:  ax4 + bx2  +c= 0
Para resolverlas se hace el cambio t=x2.

La ecuación se transforma en una de segundo grado con incógnita t:
at2 +bt+c= 0
Al aplicar la fórmula de la ecuación de segundo grado obtenemos dos soluciones: t1 y t2
La solución de x será:
 

Ecuaciones con la x en el denominador

Una ecuación que tiene la incógnita en el denominador se llama fraccionaria o racional.
El proceso para resolverla es, quitar denominadores, operar y resolver la ecuación final.
Hay que eliminar de las soluciones los valores que anulen el denominador.

Ecuaciones con radicales o Irracionales

Una ecuación que tiene la incógnita dentro de una raíz se llama irracional.
El proceso para resolverla es, despejar la raíz, elevar al cuadrado los dos términos de la igualdad, operar y resolver la ecuación final. Así, la resolución paso a paso sería:
  1. Aislamos el radical en un miembro, pasando al otro lo demás.
  2. Elevamos al cuadrado los dos miembros.
  3. Pasamos todo a un miembro y lo ordenamos.
  4. Resolvemos la ecuación obtenida.
Hay que comprobar si las soluciones obtenidas verifican la ecuación, ya que en este tipo de ecuaciones, al elevar al cuadrado, pueden aparecer soluciones falsas. Para comprobar las soluciones obtenidas se sustituyen en la ecuación inicial.


Para practicar la resolución de este tipo de ecuaciones, visite la página recursos donde encontrarás numerosos enlaces y páginas webs con multitud de actividades.


4. Tipos de ecuaciones (I)

Ya es hora de adentrarnos en materia, por lo que a continuación se expone una breve y concisa explicación sobre los distintos tipos de ecuaciones y su resolución. 

Para practicar la resolución de este tipo de ecuaciones, visite la página recursos donde encontrará numerosos enlaces y páginas webs con multitud de actividades.

Ecuaciones completas


Las ecuaciones de segundo grado son de la forma ax2+bx+c=0, donde la incógnita aparece elevada al cuadrado. Se resuelven aplicando la  fórmula:



  Ecuaciones Incompletas

 Si b ó c, o los dos son cero diremos que la ecuación es incompleta, en estos  casos resulta más útil que aplicar la fórmula, proceder como se indica a  continuación.

Si b = 0
Se despeja x2 y se obtiene la raíz:

   Si -c/a>0  hay dos soluciones
   Si -c/a<0 no hay solución.
Si c = 0
Sacamos factor común x y queda x(ax+b) = 0,
de ahí se deducen las dos soluciones:

• x=0
• ax+b=0
, es decir x=-b/a


Número de soluciones

Se llama discriminante de la ecuación de segundo grado a la expresión: ∆=b2-4·a·c
El número de soluciones de la ecuación de segundo grado depende el signo del signo del discriminante:
  • Si ∆=b2-4·a·c>0, hay dos soluciones distintas.
  • S ∆=b2-4·a·c=0, las dos soluciones son iguales, hay una solución doble.
  • Si ∆=b2-4·a·c<0, no hay solución.

martes, 10 de diciembre de 2013

3. Repaso (II): La regla de Ruffini y el Teorema del Resto

Tal y como dije en la entrada anterior, continuamos con el repaso de conceptos polinómicos.

Regla de Ruffini


La regla de Ruffini se aplica en las divisiones cuyo divisor es un polinomio de la forma x-a, donde a es un numero real.

El método de ruffini es el siguiente:
- Se coloca en la primera línea los coeficientes del dividendo
- En la parte inferior izquierda se coloca el termino independiente del divisor     cambiado de signo
- Se "baja" el primer coeficiente del dividendo.
- Se multiplica "a" ( en nuestro caso -1) por el coeficiente bajado y se coloca     el resultado debajo del segundo coeficiente
- Se suma el segundo coeficiente con el resultado anterior.
- Se continúa el proceso hasta terminar con los coeficientes

Esquema de la Regla de Ruffini
Operaciones realizadas
(-1).4 + 3 = -1
(-1).(-1)+0 = 1
(-1).1+(-6) = -7

El grado del cociente, al aplicar la regla de ruffini, es siempre una unidad menor que el grado del dividendo.

Teorema del Resto


El resto de la división de un polinomio P(x) dividido entre x-a es igual al valor numérico del polinomio P(x) para x = a, es decir R(x)=P(a).
Demostración:

Ejemplo: cual es el resto del la división 


Puedes repasar estos conceptos en los ejercicios propuestos en los diversos enlaces que aparecen en la página recursos 


2. Repaso (I): División y factorización de polinomios

A continuación se presenta un breve repaso de conceptos necesarios para la comprensión de las ecuaciones. Estos son la división y factorización de polinomios. En la próxima entrada se repasará la Regla de Ruffini y el Teorema del Resto, útiles para obtener las raíces de un polinomio.

División de polinomios


Como en todas las divisiones, Dividendo D(x) es igual a divisor d(x) por cociente c(x) mas el resto R(x)
Si 
, la división es exacta, y se dice que el polinomio D(x) es divisible por d(x), que D(x) es múltiplo de d(x) o que d(x) es divisor de D(x). En caso contrario la división es entera

Ejemplo:

Practica la división en los diferentes enlaces de este blog que aparecen en recursos TIC.

Factorización de polinomios


Mejora el aprendizaje de la factorización de polinomios a través del recurso didactalia-factorización.

Se trata de un recurso educativo interactivo de Matemáticas para Educación secundaria disponible en el portal de contenidos educativos digitales de la Consejería de Educación de la Junta de Extramadura (EDUCAREX).
En dicha secuencia didáctica, se trabajan los siguientes contenidos: raíces de un polinomio, sacar factor común, factorizar usando la regla de Ruffini, factorizar usando las igualdades notables y resolución de ecuaciones.